Introduzione

La determinazione delle coordinate dei dettagli planetari è uno dei primi passi per iniziare uno studio quantitativo delle superfici e atmosfere dei pianeti: misura della velocità delle correnti atmosferiche di Giove, mappatura ed evoluzione dei fenomeni atmosferici di Marte (regressione delle calotte polari, velocità delle tempeste di polveri), stesura di mappe di Mercurio (il 50% della superficie non è mai stata esplorata da nessuna sonda), e così via. Quest'articolo vuole essere una breve introduzione alla misura delle coordinate dei dettagli planetari.

La rotazione dei pianeti

Qualsiasi corpo celeste conosciuto ruota attorno al proprio asse e i pianeti non fanno eccezione. L'intersezione fra l'asse di rotazione e la superficie del corpo definisce due punti, i poli nord e sud. Seguendo le raccomandazioni dell'Unione Astronomia Internazionale (IAU), il polo nord di un qualsiasi pianeta, satellite o corpo minore del Sistema Solare è definito come quel polo che si affaccia verso il polo nord del piano invariante del Sistema Solare. Il piano invariante è ortogonale al vettore del momento angolare totale del Sistema Solare. Poiché le orbite planetarie sono poco inclinate rispetto all'eclittica il piano invariante e l'eclittica sono in pratica coincidenti, quindi il polo nord di un pianeta è quello che si affaccia verso il polo nord dell'eclittica.

Non tutti i pianeti ruotano nello stesso senso della Terra (senso antiorario o diretto), quando sono osservati dal loro polo nord. Le eccezioni sono Venere, Urano e Plutone che ruotano in senso orario o retrogrado. Le orbite invece, se osservate dal polo nord dell'eclittica, vengono tutte percorse in senso diretto.

Le coordinate planetocentriche e planetografiche dei pianeti

Per ciascun pianeta del Sistema Solare si adotta un sistema di coordinate sferiche fisso sulla superficie, in modo analogo alle coordinate geografiche terrestri. Il piano equatoriale di ciascun pianeta è il piano di riferimento del sistema di coordinate, mentre l'asse di rotazione coincide con l'asse z. Il centro geometrico del pianeta è l'origine del sistema di coordinate.

Poiché una parte dei pianeti del Sistema Solare sono degli ellissoidi di rotazione (il raggio polare è minore di quello equatoriale) ci sono due definizioni diverse di latitudine (vedi Fig.1) [1]:
 

1. Latitudine planetocentrica: è l'angolo j che il raggio vettore di un punto P sulla superficie del pianeta forma con il piano equatoriale. I valori assunti vanno da –90° a +90°, positivi per l'emisfero del pianeta contenente il polo nord.

 
2. Latitudine planetografica: è l'angolo j' fra il piano equatoriale e la retta passante per P ortogonale alla superficie planetaria in P.

Fig.1 – Confronto fra latitudine planetocentrica e planetrografica.

Detto s=R_e/R_p, il rapporto fra raggio equatoriale e raggio polare del pianeta (da non confondere con lo schiacciamento polare del pianeta, f=(R_e-R_p)/R_e, vale s=1/(1-f)), si può passare dalla latitudine planetocentrica a quella planetografica con la formula:

Gli unici pianeti ad avere un valore di s sensibilmente diverso da 1 sono Giove, Saturno Urano e Nettuno in cui s vale, rispettivamente, 1.069, 1.120, 1.031 e 1.026.

La longitudine di un punto P è l'angolo l fra il piano di un meridiano scelto come fondamentale e quello passante per P. Come per la latitudine esistono due definizioni diverse di longitudine:
 

1. Longitudine planetocentrica: è l'angolo l misurato positivamente verso ovest (terrestre), indipendentemente dal senso di rotazione del pianeta.

 
2. Longitudine planetografica: è l'angolo l' contato positivamente in senso opposto alla rotazione del pianeta. Con questa definizione la longitudine del meridiano centrale aumenta al trascorrere del tempo.

Come ho detto una misura di longitudine implica la scelta di un meridiano fondamentale da cui fare partire il calcolo degli angoli. Per i pianeti giganti (Giove, Saturno, Urano e Nettuno), che non ruotano come un corpo solido (la velocità di rotazione angolare dipende dalla latitudine), si adottano dei sistemi di riferimento dotati di velocità angolare costante. Per Giove è in uso il Sistema I, che si applica alle regioni vicine all'equatore (|j'|£ 9°), e il Sistema II, valido per tutte le altre latitudini. Le osservazioni radioastronomiche hanno mostrato che il campo magnetico dei pianeti giganti ruota con una velocità angolare diversa da quelle delle nubi visibili nelle loro atmosfere, presumibilmente la stessa del nucleo interno. Si è quindi introdotto il Sistema III, che ha la stessa velocità di rotazione del campo magnetico planetario. Per Urano e Nettuno si usa solo il Sistema III, mentre per Saturno ci sono anche i Sistemi I e II, in modo analogo a Giove. Quando si cita un valore di longitudine di Giove o Saturno di solito viene anche esplicitamente indicato a quale sistema ci si riferisce. Il periodo del Sistema III consente di calcolare la velocità dei dettagli atmosferici di Giove e Saturno rispetto al nucleo interno del pianeta e quindi di calcolare la velocità delle correnti atmosferiche.

Per i pianeti con una superficie solida la velocità di rotazione angolare è la stessa a tutte le latitudini e il meridiano di riferimento è indicato da qualche particolare dettaglio della superficie. Per i valori dei periodi di rotazione siderale dei vari sistemi di riferimento vedi la Tab.1.
 

Tab.1 – Periodi di rotazione siderale dei sistemi di coordinate planetarie
Pianeta	Periodo in tempo solare medio
Mercurio	58d 15h 30m 33.86s
Venere	243d 00h 26m 37.02s
Terra	23h 56m 04.09s
Giove	09h 50m 30.00s I - 09h 55m 40.63s II - 09h 55m 29.71s III
Saturno	10h 14m 00.00s I - 10h 38m 25.00s II - 10h 39m 22.40s III
Urano	17h 14m 24.00s III
Nettuno	16h 06m 36.00s III
Plutone	6d 09h 17m 38.05s

Le equazioni parametriche della superficie planetaria

Ho già accennato al fatto che la superficie di un pianeta può essere rappresentata come un ellissoide [2]: una superficie ovale, chiusa avente tre piani di simmetria perpendicolari fra di loro. In generale, sezionando un ellissoide secondo un piano di simmetria si ottiene una ellisse con semiassi a, b e c diversi fra di loro. Nel caso dei pianeti due semiassi sono uguali (a=b) e l'ellissoide è detto di rotazione schiacciata. Quando a=b=c l'ellissoide diventa una sfera. Per un pianeta gigante a=b=R_e, e c=R_p. Vale la disuguaglianza R_p < R_e. Per un pianeta sferico a=b=c=r.

Usando le equazioni parametriche canoniche dell'ellissoide di rotazione si possono ottenere le coordinate cartesiane di un punto P(x,y,z) della superficie del pianeta in funzione di latitudine e longitudine. Però dalla Terra il pianeta non è sempre visto con l'asse di rotazione ortogonale alla linea di vista. L'angolo di intersezione fra le due rette sarà minore di 90° di una quantità B, nota come latitudine planetocentrica della Terra (vedi Fig.2). Nelle effemeridi, a parte il valore dell'inclinazione degli anelli di Saturno, si trova il valore di B', la latitudine planetografica della Terra, detta anche latitudine del punto sub-terrestre, perché da un punto della superficie del pianeta posto alla latitudine planetografica B' la Terra passa allo zenit locale. Per Marte B' viene anche chiamata latitudine aerografica della Terra. Quando B è positiva il pianeta mostra all'osservatore il suo emisfero nord, quando è negativa l'emisfero sud. Quando B=0 tutte le latitudini sono visibili. Nelle formule che seguono userò sempre B, si passa da B a B' usando la (1). Tenendo conto della latitudine planetografica della Terra le equazioni parametriche della superficie dell'ellissoide schiacciato sono le seguenti:

Nella (2) h è la longitudine planetocentrica misurata rispetto al meridiano centrale del disco planetario, gli altri simboli sono già stati introdotti. Dalla (2) si ottengono tutte le altre formule che vedremo. Non verranno mostrati i passaggi. Ricordando che quello che noi vediamo di un pianeta è la sua proiezione su una superficie bidimensionale, le equazioni parametriche del disco osservato sono la seconda e la terza della (2).

Fig.2 – La latitudine planetocentrica della Terra.

La misura delle coordinate planetarie

Ora veniamo al metodo di calcolo delle coordinate dei dettagli planetari. Supponiamo di avere un disegno o un'immagine CCD di un pianeta, orientata con il nord terrestre in alto e l'ovest terrestre a destra.

Fig.3 – I sistemi di coordinate cartesiane terrestri e planetarie.

Sia (Y,Z) la coppia di coordinate di un generico punto dell'immagine del pianeta secondo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine nel centro geometrico del disco, asse  diretto verso nord e asse  diretto verso ovest (vedi Fig.3). Dalle effemeridi è noto l'angolo di posizione p dell'asse di rotazione quindi, mantenendo la stessa origine, possiamo passare dal riferimento cartesiano con assi paralleli ai punti cardinali terrestri a quello con assi paralleli ai punti cardinali del disco planetario:

Dopo questo calcolo preliminare possiamo distinguere due casi a seconda che il pianeta sia più o meno sferico. In realtà dalle formule per un pianeta ellissoidale (come sono i giganti del Sistema Solare), si possono ricavare, come caso particolare, le formule per il pianeta sferico. Tuttavia, per motivi didattici, è meglio tenere separati i due casi.

Pianeta sferico

Se il pianeta è sferico come Marte o Mercurio (s=1), il raggio dell'immagine del disco è pari a r e la latitudine planetografica o planetocentrica (in questo caso sono la stessa cosa), del punto (y,z) è data da:

L'angolo j può essere sia positivo sia negativo, a seconda che si trovi nell'emisfero nord o sud del pianeta. Per comodità, nei calcoli espliciti, si possono misurare le lunghezze y e z in unità di r. L'angolo h è fra il meridiano centrale del disco planetario e quello passante per il punto (y,z). Dalle effemeridi è noto il valore della longitudine planetografica del meridiano centrale (MC), per l'istante dell'osservazione e basta sottrarre il valore di h per ottenere la longitudine planetografica di (y,z):

Le (3) e (4) vanno bene per determinare le coordinate dei dettagli superficiali di Mercurio e Marte ma anche per la determinazione delle coordinate eliografiche delle macchie solari. Ponendo y=0 nella prima equazione della (4) si ottiene la formula per la misura della latitudine dei dettagli sul MC.

Pianeti ellissoidali

I pianeti giganti hanno la forma di ellissoidi di rotazione. Le due equazioni che forniscono j ed h per ogni punto (y,z) dell'immagine del disco non sono più disaccoppiate e il problema si complica. Più facile tracciare il sistema di coordinate da sovrapporre direttamente all'immagine e da qui ricavare j e h . Le equazioni per tracciare il reticolo di coordinate sono la seconda e la terza della (2) (vedi Fig.4):

Conviene osservare che nella (5) R_e è il raggio equatoriale dell'immagine del disco e non quello reale del pianeta. Dalla (5), ponendo s=1 e facendo uso della prima equazione della (2), si ritrova la (4) valida per un pianeta sferico.

Fig.4 – Un esempio del reticolo di coordinate per il pianeta Giove che si può ottenere dalla (5). Qui B=0°, la distanza fra meridiani e paralleli è di 10°, la distanza fra un puntino e il successivo è di 1°. Nelle regioni centrali del disco è possibile apprezzare il mezzo grado.

Ponendosi sul MC o sull'anti-MC del pianeta e estremizzando il valore di z dato dalla seconda equazione della (5) si ricava il valore minimo della latitudine planetocentrica che un osservatore posto all'infinito può osservare e il valore della latitudine planetocentrica della calotta osservabile a tutte le longitudini. Si trova:

Ad esempio, quando Saturno ha B=+27°, si ha j_lim=± 57.4°. Questo significa che al di sopra dei +57.4° planetocentrici sono visibili tutte le longitudini, mentre al di sotto dei –57.4° planetocentrici nessuna longitudine è osservabile. Notare che quando B=0°, j_lim=± 90° (si possono osservare tutte le latitudini), mentre quando B=± 90° allora j_lim=0° (si può osservare solo fino alle latitudini equatoriali). Per un pianeta sferico j_lim=± (90°-B).

Sostituendo la (6) nella seconda della (5) si trova il valore del raggio polare apparente del pianeta:

Notare come r_p ³ R_p. Solo per B=0° il raggio polare apparente coincide con il raggio polare vero del pianeta. In generale, per un osservatore posto all'infinito, il contorno di un pianeta gigante appare come un'ellisse di semiassi R_e e r_p, solo quando la latitudine del punto sub-terrestre è nulla il profilo del disco è un'ellisse di semiassi R_e e R_p. Torniamo al solito esempio con Saturno. Con B=+27° dalla (7) si ha r_p=1.026 R_p=0.916 R_e, mentre per B=0° si trova r_p=0.893 R_e. In sostanza il profilo di Saturno appare più schiacciato quando la Terra attraversa il piano degli anelli e meno quando la Terra si trova al di sopra o al di sotto di questo piano. Risulta difficile accorgersi di questo fatto perché quando gli anelli sono alla massima apertura nascondono una parte del disco planetario. Per un pianeta sferico il raggio polare apparente, quello vero e quello equatoriale coincidono.

Se si misura la latitudine dei dettagli sul meridiano centrale (h =0°), dalla seconda delle (5) si trova:

La (8) fornisce la latitudine dei dettagli sul MC ed è l'analogo (cioè fornisce gli stessi risultati) della formula di Crommelin [3]. Rispetto a quest'ultima ha il vantaggio di non contenere esplicitamente il valore del raggio polare apparente, una caratteristica utile se si riducono le osservazioni da un semplice disegno.

Nel caso di Giove è |B|£ 3° e si può porre cos(B)» 1 e sen(B)» 0. In questo modo le due equazioni della (5) si disaccoppiano e si possono ricavare direttamente le coordinate del punto (y,z):

La (9) non può essere usata per Saturno, tranne nel periodo i cui gli anelli sono di taglio, perché B può andare da –27° a +27°. Per Giove è molto utile perché consnte di ricavare la longitudine dei dettagli che non si trovano sul meridiano centrale del disco.

Bibliografia

[1] O. Montenbruck, T. Pfleger, Astronomy on the Personal Computer, IV ed., Springer, 1999.

[2] N.V. Efimov, Elementi di geometria analitica, Mir, 1986.

[3] M. Falorni, P. Tanga, Osservare i pianeti, Media Presse, 1994.